Achilleus und die Schildkröte

Zenon aus Elea, behauptete: der schnellfüßige Achilleus kann das langsamste Tier, die Schildkröte, niemals einholen, falls diese beim Beginn des Laufes einen Vorsprung s hat, da die Schildkröte, während Achilleus diese Strecke durchläuft, eine weitere Strecke zurücklegt Immer aber wenn Achilleus diese weitere Strecke durchläuft, legt die Schildkröte abermals eine bestimmte (wenn auch kleinere) Strecke zurück. Da dies ohne Ende so weitergeht, kann Achilleus die Schildkröte nicht einholen.

Die Paradoxie von Achilleus und der Schildkröte wird wie die Halbierungsparadoxie als Stadionparadoxie bezeichnet.

Eine logische Analyse zeigt, dass Zenon, um folgerichtig zu sein, den Weg des Achilleus in immer kürzere Abschnitte einteilt, die unendlich klein werden. In Gedanken kann man das machen, in der Praxis lässt sich das aber nicht realisieren, da der Weg den der Achilleus durchläft eine Teilungsgrenze hat, z. B. ein Molekül oder Atom.

Aristoteles sagt, dass Achilleus die Schildkröte überholen wird, wenn es ihm gelingt, "die Grenze zu überschreiten".

Hegel hielt die Antwort des Aristoteles für richtig, "denn in Wirklichkeit wird die Hälfte hier (auf einer gewissen Stufe) ,Grenze'".

Zenon vergaß zusätzlich, die Bewegungszeit in unendlich kleine Abschnitte zu teilen. Berücksichtigt man das, ergibt sich für jeden immer kleineren Abschnitt eine immer kleinere Zeit ihn zu durchlaufen.

Im Jahre 1928 schrieb der Mathematiker Weil in seinem Buch Philosophie in der Mathematik über die Achilleusparadoxie: Falls man entsprechend der Zenonparadoxie die Strecke der Länge 1 aus einer unendlichen Menge von Strecken der Längen 1/2, 1/4, 1/8 ... bilden könnte, deren jede als Ganzes genommen wird, müsste es auch möglich sein, dass eine Maschine, die in der Lage ist, diese unendlich vielen Strecken in einer endlichen Zeit zu durchlaufen, in einer endlichen Zeit eine unendliche Folge von Entscheidungsakten durchführen kann, indem sie z. B. das erste Ergebnis nach 1/2 Minuten, das zweite 1/4 Minute nach dem ersten, das dritte 1/8 Minute nach dem zweiten usw. liefert. Auf diese Weise wäre es möglich, im Unterschied zum Wesen des Unendlichen, auf rein mechanischem Wege die ganze Reihe der natürlichen Zahlen zu durchlaufen und alle an sie gerichteten Existenzfragen vollständig zu beantworten.

Ajdukiewicz nimmt an, dass Zenon Begriffsunterschiebung begeht, da er den Terminus "Moment" einmal als Punkt, einmal als Zeitintervall interpretiert.