Mehrwertige Logik

Nicht alle Erscheinungsformen des Logischen lassen sich mit der klassischen Logik erfassen. Denkt man z. B. an Aussagen über zukünftige Ereignisse oder an die logische Behandlung von Frage, so scheint es nicht offensichtlich, dass man das Zweiwertigkeitsprinzip sinnvoll beibehalten kann.

Die mehrwertige Logik verzichtet auf das Zweiwertigkeitsprinzip.

Der Verzicht auf das Zweiwertigkeitsprinzip bedeutet nicht, dass die mehrwertige Logik auf die Betrachtung von Wahrheitswerten verzichten muss. Wie in der klassischen Logik geht man auch in der mehrwertigen Logik davon aus, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert zugeordnet ist. Es gibt jedoch mehr als zwei Wahrheitswerte. Man spricht hier auch von Quasiwahrheitswerten.

Die Untersuchung der Quasiwahrheitswerte erfolgt teilweise in der topologischen Logik.

Ein Beispiel für eine mehrwertige Logik, in der auch das Extensionalitätsprinzip nicht gilt, ist die Wahrscheinlichkeitslogik.

Die Vorgeschichte der mehrwertigen Logik lässt sich bis zu Aristoteles zurückverfolgen, der in De Interpretatione (cap. 9) das Problem diskutiert, welchen Wahrheitswert man Aussagen zuschreiben soll, die auf Zukünftiges bezogen sind.

Vertritt man einen Determinismus, kann man auch für solche Aussagen das Zweiwertigkeitsprinzip aufrechterhalten. So taten es denn auch die Stoiker im Gegensatz zu den Epikuräern, die keinen Determinismus vertraten.

Das Problem der contingentia futura wurde auch in der mittelalterlichen Philosophie und Logik diskutiert. So verwendete Radulpus Strodus außer den Wahrheitswerten wahr und falsch auch den Wahrheitswert zweifelhaft (dubium).

Die allgemeine Belebung der Logikforschung in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts führte zu mehrwertigen logischen Systemen bei MacColl und Peirce.

Mehrwertige logische Systeme sind auch die nicht-aristotelischen Systeme von Wassiljew, die auch als Vorläufer der parakonsistenten Logiken betrachtet werden können.

Die Entwicklung der mehrwertigen Logik von 1920 bis ca. 1930 wurde im wesentlichen von Łukasiewicz und der polnischen Logikerschule getragen.

Außerdem hat Bernays eine Methode der Unabhänigkeitsbeweise publiziert, die weite Verbreitung gefunden hat.

Auch Hans Reichenbach hat eine dreiwertige Logik entwickelt. Er hat versucht die mehrwertige Logik und die Quantenphysik aneinander zu koppeln.

Wichtige Resultate der mehrwertigen Logik sind:

• die Axioamtisierung des dreiwertigen Łukasiewiczschen Systems Ł₃ durch Wajsberg (1931),
• die Ergänzung von Ł₃ zu einem funktional vollständigen System Ł₃^S sowie dessen Axiomatisierung durch Słupecki (1936),
• die Klärung des Verhältnisses zur intuitionistischen Logik durch Gödel (1932) und Jaśkowski (1936),
• die Anwendung dreiwertiger Systeme auf die Diskussion von Antinomien durch Bočvar (1938),
• die Anwendung der dreiwertigen Logik auf mathematische Probleme partieller Funktionen bei Kleene und
• die Verallgemeinerung der theoretischen Ansätze insbesondere durch Rosser und Turquette in den 40er Jahren.

Neben rein theoretischen Untersuchungen über mehrwertige Systeme haben anwendungsorientierte Untersuchungen an Bedeutung gewonnen.

Dies können Anwendungen innerhalb der Logik sein, wie die Unabhängigkeitsuntersuchungen oder Fragen der Deutung logischer Systeme als mehrwertige Systeme im Falle der intuitionistischen Logik, der Modallogik und der parakonsistenten Logik.

Dies können auch Anwendungen außerhalb der Logik sein, wie die Theorie unscharfer Mengen oder die Verallgemeinerung der Schaltalgebra auf analoge Unterscuhungen bezüglich mehrwertiger aussagenlogischer Systeme.