T-Norm

Als Wahrheitswertfunktionen für Konjunktionen in der mehrwertigen Logik werden zumeist nur Funktionen akzeptiert die T-Normen sind [1] [2] [3].

Schon bei der Einführung der T-Normen durch Schweizer/Skalar [4] auch haben sie die Rolle verallgemeinerter Konjunktionen gehabt.

Der Name leitet sich von dem englischen Terminus triangular norm ab. T-Normen sind zuerst in Untersuchungen zu verallgemeinerten Geometrien aufgetreten und haben Eigenschaften, die man von Wahrheitswertfunktionen mehrwertiger Konjunktionen erwartet.

Eine T-Norm t ist eine zweistellige Funktion in der Menge der Quasiwahrheitswerte [0, 1], für die für alle Quasiwahrheitswerte x, y, z, u gilt:

t(0, x) = 0 und t(1, x) = x;

t(x, y) £ t(u, z), falls x £ u und y £ z;

t(x, y) = t(y, x);

t(t(x, y), z) = t(x, t(y, z)).

Jeder T-Norm t lässt sich eine T-Conorm s zuordnen, die wie folgt definiert ist:

s (x, y) =_df 1 - t(1 - x, 1 - y).

[1] Yager, R. R.: On a general class of fuzzy connectives. Fuzzy Set Systems 4 (1980), 235 - 242
[2] Dombi, J.: A general class of fuzzy operators, the DeMorgan class of fuzzy operators and fuzziness measures induced by fuzzy operators. Fuzzy Set Systems 8 (1982), 149 - 163
[3] Weber, S.: A general concept of fuzzy connectives, negations and implications based on t-norms and t-conorms. Fuzzy Set Systems 11 (1983), 115 - 134
[4] Schweizer, B./Skalar, A.: Associative functions and statistical triangle inequalities. Publicationes Mathematicae Debrecen 8 (1961), 169 - 186